Was ist der erwartete Wert in einem Casino und was sagt er den Spielern?

Auf die Frage, was der erwartete Wert in einem Casino ist, lautet die einfachste Antwort: Es handelt sich um das durchschnittliche mathematische Ergebnis, das ein Spieler pro Wette erwarten könnte, wenn er die gleiche Situation sehr oft wiederholt. Der Erwartungswert, der vom englischen „expected value“ oft als EV bezeichnet wird, sagt nicht voraus, was in der nächsten Runde passieren wird. Es zeigt den langfristigen Zusammenhang zwischen möglichen Gewinnen, Verlusten und deren Wahrscheinlichkeiten.

EV hilft daher dabei, kurzfristiges Glück von langfristigem mathematischem Vorteil zu unterscheiden und zu verstehen, warum ein Casino profitabel sein kann, auch wenn einzelne Spieler gelegentlich große Gewinne erzielen.

Was ist in der Praxis der erwartete Wert in einem Casino?

Der Erwartungswert stellt das durchschnittliche finanzielle Ergebnis einer Entscheidung oder Wette dar, wobei alle möglichen Ergebnisse und die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen davon berücksichtigt werden.

Die Grundformel kann so geschrieben werden:

EV = Summe (Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses × Wert dieses Ergebnisses)

Liegen sowohl Gewinne als auch Verluste vor, werden beide Seiten in die Berechnung einbezogen.

Stellen wir uns ein sehr einfaches Spiel vor. Der Spieler investiert 100 €. Es besteht eine 50-prozentige Chance, 100 € netto zu gewinnen, und eine 50-prozentige Chance, Ihre 100 € zu verlieren.

Die Rechnung sieht so aus:

EV = (0,50 × 100) + (0,50 × -100)

EV = 50 – 50 =

Eine solche Wette hat einen Erwartungswert von Null. Mathematisch gesehen hat weder der Spieler noch der Veranstalter einen Vorteil.

Stellen Sie sich nun vor, dass die Wahrscheinlichkeit gleich ist, der Nettogewinn bei einem erfolgreichen Ergebnis jedoch nur 90 € beträgt.

EV = (0,50 × 90) + (0,50 × -100)

EV = 45 – 50 = -5 €

Der erwartete Wert beträgt -5€ pro Wette von 100€. Dies bedeutet nicht, dass der Spieler jedes Mal genau fünf Dinar verliert. Er kann sofort 90 € gewinnen, er kann 100 € verlieren und er kann eine Reihe von Gewinnen erzielen. Die Zahl -5 beschreibt einen mathematischen Durchschnitt über eine sehr große Anzahl an Wiederholungen.

Dies ist das Wichtigste, was man verstehen muss: EV ist ein langfristiges Maß, keine Prognose des nächsten Ergebnisses.

Positiver, negativer und neutraler Erwartungswert

Der Erwartungswert kann positiv, negativ oder gleich Null sein.

• Ein positiver Erwartungswert (+EV) bedeutet, dass der mathematische Durchschnitt zugunsten des Spielers ausfällt. Wenn dieselbe günstige Situation unter denselben Bedingungen genügend oft wiederholt würde, wäre das durchschnittliche Ergebnis positiv.
• Ein negativer Erwartungswert (-EV) bedeutet, dass der mathematische Vorteil auf der anderen Seite liegt. Die meisten Standard-Casinospiele fallen für den Spieler in diese Kategorie.
• Ein neutraler Erwartungswert (EV = 0) bedeutet, dass keine Seite einen mathematischen Vorteil vor etwaigen Zusatzkosten hat.

Casinospiele haben im Allgemeinen einen mathematischen Hausvorteil, sodass der EV des Spielers negativ und die Erwartung des Casinos positiv ist. Das bedeutet nicht, dass jeder Spieler in jeder Sitzung verliert: Kurzfristige Ergebnisse können stark vom Durchschnitt abweichen.

Wie sieht EV in einem einfachen Roulette-Beispiel aus?

Europäisches Roulette hat 37 Felder: Zahlen von 1 bis 36 und eine Null.

Beim Wetten auf eine einzelne Zahl beträgt die Standardauszahlung 35 zu 1. Wenn ein Spieler 100 € setzt, gibt es zwei grundlegende Ergebnisse:

• Ein Treffer bringt einen Nettogewinn von 3000 €;
• Ein Fehlschlag führt zu einem Einsatzverlust von 100 €.

Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt 1/37 und die Wahrscheinlichkeit eines Fehlschusses 36/37.

Der erwartete Wert ist:

EV = (1/37 × 3.500) + (36/37 × -100)

Das Ergebnis beträgt ca. -200 € für jede investierte 100 €.

Dies entspricht einem Hausvorteil von etwa 2,70 % bei Standard-Europäischen Roulette-Wetten. Natürlich verliert der Spieler im echten Spiel nicht bei jeder Drehung genau 200 €. An einem Abend kann es zu einem großen Plus oder Minus kommen. Der mathematische Durchschnitt der Wette bleibt jedoch negativ.

So interpretieren Sie den erwarteten Wert

Erwartungswert und Heimvorteil sind nicht dasselbe, aber sie hängen zusammen

Der Hausvorteil oder Hausvorteil stellt den Prozentsatz jedes Einsatzes dar, den das Casino mathematisch auf lange Sicht behalten möchte.

Wenn eine Wette einen Hausvorteil von 3 % hat, beträgt das erwartete Ergebnis des Spielers etwa -3 € pro 100 € Umsatz.

Es ist wichtig, das Wort „Verkehr“ hervorzuheben. Wenn ein Spieler während einer Sitzung einen Gesamteinsatz von 30.000 € tätigt, wird die mathematische Erwartung anhand dieses Umsatzes und nicht nur anhand der Ersteinzahlung berechnet.

Zum Beispiel bei einem Hausvorteil von 3 %:

30.000 × 0,03 = 900 €

Rechnerisch würde der zu erwartende Verlust 900 € betragen.

Das tatsächliche Ergebnis einer Sitzung kann völlig anders sein. Der Spieler kann am Ende 10.000 € übrig haben oder alle 5.000, die er mitgebracht hat, verlieren. Der EV beschreibt nicht die Grenzen einer einzelnen Sitzung, sondern den durchschnittlichen Punktestand, der sich aus den Spielregeln ergibt.

Entspricht der erwartete Wert dem RTP?

Das ist nicht der Fall, aber die Begriffe sind eng miteinander verbunden.

RTP, also Return to Player, gibt den theoretischen Prozentsatz des Gesamteinsatzes an, der den Spielern in Form von Gewinnen über eine sehr große Anzahl gespielter Runden zurückerstattet wird.

Wenn ein Slot einen theoretischen RTP von 96 % hat, kann man ihn mathematisch als ein Spiel mit einem Hausvorteil von etwa 4 % betrachten.

Bei 100 € Umsatz:

• Die theoretische Rendite beträgt 90 €;
• Der rechnerisch erwartete Verlust beträgt 4 €;
• Der EV eines Spielers beträgt etwa -4 € pro 100 € Umsatz.

Allerdings sagt RTP nicht aus, wie oft ein bestimmter Spieler gewinnen wird. Daher ist die Schlussfolgerung, dass ein Einsatz von 10.000 € auf einen Slot mit einem RTP von 97 % am Ende genau 9.000 € ergibt, nicht richtig. Das kurzfristige Ergebnis kann deutlich höher oder niedriger ausfallen.

Der erwartete Wert ist nicht dasselbe wie die Gewinnwahrscheinlichkeit

Dies ist einer der häufigsten Fehler beim Verständnis von Casinospielen.

Eine Wette kann eine relativ hohe Erfolgswahrscheinlichkeit und dennoch einen schlechten Erwartungswert haben. Der Schlüssel liegt nicht nur darin, wie oft ein Spieler gewinnt, sondern auch darin, wie viel er gewinnt, wenn er trifft, und wie viel er verliert, wenn er sein Ziel verfehlt.

Stellen Sie sich zum Beispiel ein Spiel vor, bei dem die Wahrscheinlichkeit, dass ein Spieler 1 € gewinnt, bei 90 % liegt, die Wahrscheinlichkeit, dass er 20 € verliert, jedoch bei 10 %.

EV ist:

(0,90 × 1) + (0,10 × -20) = 0,90 – 2 = -100 €

Der Spieler in diesem Beispiel wird neun von zehn Runden „gewinnen“, hat aber auf lange Sicht immer noch eine negative Erwartung.

Daher bedeutet ein hoher Prozentsatz gewonnener Runden nicht automatisch ein günstiges Spiel.

Welche Rolle spielt die Volatilität?

Die Volatilität beschreibt, wie stark die Ergebnisse um den Durchschnitt schwanken können.

Zwei Spiele können den gleichen RTP und ähnlichen EV haben, aber einen völlig unterschiedlichen Ablauf. Ein Spielautomat mit geringerer Volatilität verteilt die Auszahlungen in der Regel gleichmäßiger, während es bei einem Spielautomaten mit hoher Volatilität längere Zeiträume ohne nennenswerten Gewinn und gelegentlich größere Auszahlungen geben kann.

Der Erwartungswert beantwortet also die Frage: „Was ist der mathematische Durchschnitt?“

Die Volatilität beantwortet eine weitere Frage: „Wie stark können die tatsächlichen Ergebnisse von diesem Durchschnitt abweichen?“

Ein Spieler, der nur EV versteht, aber die Volatilität ignoriert, unterschätzt möglicherweise, wie schnell sich ein Gleichgewicht über einen kurzen Zeitraum ändern kann.

Warum garantiert ein positiver EV keinen Gewinn?

Selbst wenn ein Spieler eine Situation mit einem positiven Erwartungswert vorfindet, ist ein Sieg nicht garantiert.

Nehmen wir an, eine bestimmte Wette hat einen EV von +2 %. Das bedeutet, dass es sich mathematisch günstig über eine Vielzahl gleicher oder sehr ähnlicher Situationen hinweg verhält. Allerdings kann eine einzelne Wette ebenso verlieren wie zehn oder zwanzig aufeinanderfolgende Wetten.

Der Grund liegt in der Varianz, also der natürlichen Variabilität der Ergebnisse.

Deshalb sollte die Qualität der Entscheidung, die anhand des Erwartungswerts bewertet werden kann, vom Ergebnis der Entscheidung getrennt werden, das kurzfristig vom Zufall abhängen kann. Eine gute Entscheidung kann zu einem Verlust und eine schlechte zu einem Gewinn führen.

Was sagt der Erwartungswert den Spielern?

Wenn man versteht, wie hoch der erwartete Wert in einem Casino ist, kann man Spiele und Wetten viel realistischer bewerten.

EV sagt dem Spieler in erster Linie, wie viel eine bestimmte Entscheidung kostet oder im mathematischen Durchschnitt wert ist. Es hilft auch zu erkennen, dass eine hohe potenzielle Auszahlung nicht automatisch bedeutet, dass eine Wette gut ist.

Der erwartete Wert kann nützlich sein für:

• Vergleich verschiedener Spiele: Ein Spiel mit einem kleineren Hausvorteil hat einen weniger negativen EV, vorausgesetzt, es wird richtig gespielt;
• Die Regeln verstehen – eine kleine Änderung der Auszahlung oder eine zusätzliche Regel kann das langfristige Ergebnis verändern;
• Schätzen Sie die Kosten des Spiels – eine größere Anzahl von Wetten und ein größerer Gesamtumsatz erhöhen den erwarteten Geldverlust bei einem negativen EV;
• Glück und Mathematik trennen – kurzfristiger Gewinn ändert nichts an der langfristigen Struktur des Spiels;
• Realistischeres Budgetmanagement – ​​der Spieler kann verstehen, dass ein längeres Spiel im Allgemeinen einen höheren Gesamtumsatz und eine höhere Gefährdung durch den Hausvorteil bedeutet.

Die nützlichste Erkenntnis ist nicht, wie man „das System besiegt“, sondern wie man die Kosten und Risiken von unterhaltsamen Aktivitäten, die mit Geld verbunden sind, besser verstehen kann.

Kann eine Strategie den erwarteten Wert verändern?

In manchen Spielen ist das möglich.

In Spielen, in denen Spielerentscheidungen das Ergebnis beeinflussen, kann die Qualität der Strategie den EV verändern. Blackjack ist ein typisches Beispiel. Ein Spieler, der mathematisch ungünstige Entscheidungen trifft, kann den Hausvorteil erhöhen, während die richtige Grundstrategie ihn verringern kann.

Bei Spielen, die rein auf Zufall basieren, nachdem die Wette platziert wurde, ist der Spielraum für Einflussnahme viel geringer oder nicht vorhanden.

Beispielsweise ändert die Änderung der Einsätze beim Roulette nicht den zugrunde liegenden Erwartungswert derselben Wette. Ein System, das die Verdoppelung der Wetten nach einer Niederlage vorschreibt, kann die Verteilung von Gewinnen und Verlusten verändern, aber es beseitigt nicht den mathematischen Vorteil, der in die Auszahlungen eingebaut ist.

Das Gleiche gilt für Spielautomaten. Durch Erhöhen der Einsätze, Ändern des Zeitpunkts des Tastendrucks oder Stoppen des Spiels nach einem bestimmten Streak wird ein negativer EV nicht in einen positiven umgewandelt, es sei denn, bestimmte Spielregeln oder Werbeaktionen ändern tatsächlich die mathematischen Bedingungen.

Die häufigsten Fehler bei der Interpretation des Erwartungswertes

Der erste Fehler besteht darin, zu erwarten, dass EV in kurzer Zeit sichtbar sein muss. Das muss nicht sein. Erst mit zunehmender Wiederholungszahl wird der statistische Durchschnitt stabiler.

Ein weiterer Fehler besteht darin, Elektrofahrzeuge mit Garantie zu verwechseln. Selbst eine positive Erwartung garantiert keinen Gewinn in einer bestimmten Sitzung.

Der dritte Fehler besteht darin, nur den Prozentsatz der gewonnenen Runden zu betrachten. Auch die Höhe der Gewinne und Verluste ist wichtig.

Der vierte Fehler besteht darin, den Gesamtverkehr zu ignorieren. Der gleiche Prozentsatz des Hausvorteils hat einen viel größeren finanziellen Effekt, wenn der Spieler zehnmal so viele Einsätze macht.

Der fünfte Fehler besteht darin, zu glauben, dass die vorherige Sequenz den mathematisch erwarteten Wert des nächsten unabhängigen Ergebnisses ändert. Wenn die Runden unabhängig voneinander sind, begründen frühere Siege oder Niederlagen keine Verpflichtung für das nächste Ergebnis, den Streak zu „korrigieren“.

Wie kann man EV für verantwortungsvollere Entscheidungen nutzen?

Der erwartete Wert beseitigt einen Teil der Illusion, die mit Glücksspielen einhergeht. Anstatt zu fragen: „Wie viel kann ich gewinnen“, ist es sinnvoller zu fragen: „Wie viel kostet mich dieses Spiel rechnerisch über mehrere Wetten hinweg?“.

Ein Spieler kann ein vorgegebenes Budget festlegen, begrenzen Sie die Spielzeit und vermeiden Sie es, Einsätze zu erhöhen, nur weil er versucht, frühere Verluste auszugleichen. Keine noch so große mathematische Analyse macht ein Casinospiel zu einer todsicheren Möglichkeit, Geld zu verdienen.

Casinospiele sollten als eine Form der Unterhaltung mit finanziellem Risiko betrachtet werden. Der Erwartungswert hilft, dieses Risiko besser zu verstehen, beseitigt es jedoch nicht.

Was Sie über den erwarteten Wert in einem Casino beachten sollten

Die Antwort auf die Frage, was der erwartete Wert in einem Casino ist, ergibt sich aus dem langfristigen mathematischen Durchschnitt aller möglichen Ergebnisse einer Wette unter Berücksichtigung ihrer Wahrscheinlichkeiten und Werte.

Ein negativer EV bedeutet, dass der Spieler auf lange Sicht rechnerisch im Nachteil ist. Ein positiver EV weist auf einen mathematischen Vorteil hin, garantiert jedoch keinen Gewinn in einer einzelnen Sitzung. RTP, Hausvorteil, Volatilität und Gewinnwahrscheinlichkeit hängen mit diesem Thema zusammen, sind aber nicht die gleichen Begriffe.

Der erwartete Wert versucht nicht, den nächsten Spin oder Deal vorherzusagen. Es demonstriert anhand zahlreicher Wiederholungen, was die Regeln und Wahrscheinlichkeiten bedeuten. Deshalb sagt der EV dem Spieler nicht, wann er gewinnen wird, sondern wie sehr eine bestimmte Entscheidung auf lange Sicht rechnerisch günstig oder ungünstig ist.